Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов

Книга предназначена для первоначального изучения теории случайных процессов на строгой математической основе. Предполагается, что читатель знаком с общим курсом теории вероятностей. Необходимые сведения из теории меры приведены без доказательств. В книге рассмотрены общие положения теории, включая аксиоматику теории вероятностей и основные классы случайных процессов. Первая глава посвящена более элементарному изложению теории.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов университетов, а также на специалистов-нематематиков, желающих ознакомиться с основными математическими методами теории случайных процессов.

Второе издание книги существенно переработано.
 

ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию 5
Предисловие ко второму изданию 10
Глава I. Случайные процессы в широком смысле 11
§ 1. Определения 11
§ 2. Гауссовы случайные функции 22
§ 3. Процессы с независимыми приращениями 31
§ 4. Марковские процессы в широком смысле 42
§ 5. Процессы, стационарные в широком смысле 71
Глава П. Аксиоматика теории вероятностей. 88
§ 1. Аксиомы теории вероятностей и основные определения 88
§ 2. Построение вероятностных пространств 105
§ 3. Условные вероятности 114
§ 4. Независимость 124
Глава Ш. Случайные последовательности 132
§ 1. Мартингалы 132
§ 2. Ряды независимых случайных величин 146
§ 3. Эргодические теоремы 151
§ 4. Процесс восстановления 163
§ 5. Цепи Маркова 178
§ 6. Цепи Маркова со счетным числом состояний 191
Глава IV. Случайные функции 214
§ 1. Определение случайной функции 220
§ 2. Сепарабельные случайные функции 220
§ 3. Измеримые случайные функции 225
§ 4. Критерии отсутствия разрывов второго рода 228
§ 5. Непрерывные процессы 233
§ 6. Субмартингалы непрерывного аргумента 243
Глава V. Линейные преобразования случайных процессов 247
§ 1. Гильбертовы случайные функции 247
§ 2. Стохастические меры и интегралы 259
§ 3. Интегральные представления случайных функций 269
§ 4. Линейные преобразования 274
§ 5. Физически осуществимые фильтры 284
§ 6. Прогноз и фильтрация стационарных процессов 297
Глава VI. Процессы с независимыми приращениями 314
§ 1. Случайные блуждания на прямой 314
§ 2. Скачкообразный процесс с независимыми приращениями. 329
Обобщенный процесс Пуассона
§ 3. Непрерывные процессы. Винеровский процесс 344
§ 4. Строение общих процессов с независимыми приращениями 355
§ 5. Свойства выборочных функций 369
Глава VII. Скачкообразные марковские процессы 383
§ 1. Общее определение марковского процесса 383
§ 2. Общие скачкообразные марковские процессы 395
§ 3. Однородные процессы со счетным множеством состояний 406
§ 4. Процесс рождения и гибели 422
§ 5. Ветвящиеся процессы 431
Глава VHI. Диффузионные процессы 449
§ 1. Стохастический интеграл Ито 451
§ 2. Существование и единственность решений стохастических 469
дифференциальных уравнений
§ 3. Дифференцируемость решений стохастических уравнений по 481
начальным данным
§ 4. Метод дифференциальных уравнений 488
§ 5. Граничные задачи для диффузионных процессов 493
§ 6. Абсолютная непрерывность мер, отвечающих диффузионным 501
процессам
Глава ГХ. Предельные теоремы для случайных процессов 514
§ 1. Слабая сходимость распределений в метрическом пространстве 515
§ 2. Предельные теоремы для непрерывных процессов 521
§ 3. Сходимость сумм независимых случайных величин к процессу 525
броуновского движения
§ 4. Сходимость последовательностей цепей Маркова к диффузионному 527
процессу
§ 5. Пространство функций без разрывов второго рода 539 § 6. Сходимость сумм одинаково распределенных независимых случайных 547
величин к однородному процессу с независимыми приращениями
Примечания 553
Литература 559
Обозначения 565
Предметный указатель 566