Арнольд В. И. Лекции об уравнениях с частными производными. - М.: Фазис, 1997. - 175 с.
Лекции великого современного математика, который поставил себе целью изложить ряд главных идей современной математической физики - теорию одного уравнения в частных производных, принцип Гюйгенса в теории волн, вариационный принцип в теории колебаний и т. д. Глубоко и интересно изложена так называемая теорема Максвелла о том, что все сферические функции можно получить дифференцированием фундаментального решения. И на этом примере, и на многих других автор демонстрирует изумительное единство математики, мощь общих геометрических и концептуальных подходов. Эта книга учит, как приходить к результатам и как их осмысливать. Обоснованиям и доказательствам можно научиться по многим другим pуководствам.
Оглавление Предисловие ко второму изданию
1. Общая теория для одного уравнения первого порядка 1
2. Общая теория для одного уравнения первого порядка (продолжение) 13
3. Принцип Гюйгенса в теории распространения волн 25
4. Струна (метод Даламбера) 33
1. Общее решение 33
2. Краевые задачи и задача Коши 34
3. Задача Коши для неограниченной струны. Формула Даламбера 36
4. Полуограниченная струна 37
5. Ограниченная струна (резонанс) 38
6. Метод Фурье 39
5. Метод Фурье (для струны) 43
1. Решение задачи в пространстве тригонометрических многочленов 43
2. Отступление 44
3. Формулы для решения задачи пункта 1 44
4. Общий случай 45
5. Ряды Фурье 45
6. Сходимость рядов Фурье 46
7. Явление Гиббса 47
6. Теория колебаний. Вариационный принцип 49
7. Теория колебаний. Вариационный принцип (продолжение) 61
8. Свойства гармонических функций 77
9. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Потенциалы 89
10. Потенциал двойного слоя 107
11. Сферические функции. Теорема Максвелла. Теорема об устранимой 119
особенности
12. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Теория линейных уравнений и 135
систем
Приложение 1. Топологическое содержание теоремы Максвелла о 151 мультипольном представлении сферических функций
1. Основные пространства и группы 152
2. Некоторые теоремы вещественной алгебраической геометрии 154
3. От алгебраической геометрии к сферическим функциям 156
4. Явные формулы 158
5. Теорема Максвелла и СР2 /conj ~ S4 162
6. История теоремы Максвелла 164 Приложение 2. Задачи 167
1. Материалы семинаров 167
2. Задачи письменного экзамена 174