Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Третий выпуск «Курса высшей математики и математической физики» для физических и физико-математических факультетов содержит теорию дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете Московского ордена Ленина государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Излагаемый материал хотя и близок к содержанию книг автора «Дифференциальные уравнения» (М., Гостехиздат, 1957) и «Вариационное исчисление» (М., Гостехиздат, 1958), однако по совету редакторов Курса в него внесен ряд изменений. За эти советы автор выражает им свою искреннюю признательность.
 

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии 8
ЧАСТЬ I 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Введение 9
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 15
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 15 § 2. Уравнения с разделяющимися переменными 19
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися 24
переменными
§ 4. Линейные уравнения первого порядка 27
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах 32
§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения 39
dy/dx=J[x,y)
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка 61 § 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно 68
производной § 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных 75
уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые
решения
Задачи к главе 1 82
Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого 85
§ 1. Теорема существования и единственности для дифференциального 85
уравнения п-го порядка
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка 87
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка 93
§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и 107
уравнения Эйлера
§ 5. Линейные неоднородные уравнения 113
§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 124
и уравнения Эйлера
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 137
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных 147
колебаний
§ 9. Понятие о краевых задачах 159
Задачи к главе 2 165
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 168
§ 1. Общие понятия 168
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем 171
сведения к одному уравнению более высокого порядка
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций 178
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений 181
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными 192
коэффициентами § 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных 199
уравнений и уравнений и-го порядка
Задачи к главе 3 201
Глава 4. Теория устойчивости 203
§ 1. Основные понятия 203
§ 2. Простейшие типы точек покоя 206
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова 215
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению 221
§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней 227
многочлена
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка 230
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях 234
Задачи к главе 4 238
Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка 241
§ 1. Основные понятия 241
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных 243
первого порядка
§ 3. Уравнения Пфаффа 255
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка 260
Задачи к главе 5 278
ЧАСТЫ1
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Введение 280
Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами 284
§ 1. Вариация и ее свойства 284
§ 2. Уравнение Эйлера 292
*. 305 § 3. Функционалы вида ]F(x,y1,y2,...,yn,y,y'2,...,y'n)dx
§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка 308
§ 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых 312
переменных
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме 317
§ 7. Некоторые приложения 320
Задачи к главе б 324
Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые 327
другие задачи
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами 327
§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида 334
л,
F(x,y,z,yz')dx
§ 3. Экстремали с угловыми точками 338
§ 4. Односторонние вариации 346
Задача к главе 7 349
Глава 8. Достаточные условия экстремума 351
§ 1. Поле экстремалей 351
§ 2. ФункцияЕ(х, у,р,у*) 357
§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду 368
Задачи к главе 8 373
Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум 375
§ 1. Связи вида <р(х,у1ъу2,...,упУ=0 375
§ 2. Связи вида <р(х,у1ъу2,...,уп,уъу2,-,Уп)=0 382
§ 3. Изопериметрические задачи 385
Задачи к главе 9 393
Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах 394
§ 1. Прямые методы 394
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера 395
§3. Метод Ритца 397
§ 4. Метод Канторовича 406
Задачи к главе 10 412
Ответы и указания к задачам 414
Рекомендуемая литература 421
Предметный указатель 422